【題目】(本小題滿分12分)
已知拋物線C的方程C:y2="2" p x(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(I)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(II)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。
【答案】(I)拋物線C的方程為,其準(zhǔn)線方程為(II)符合題意的直線l 存在,其方程為2x+y-1 =0.
【解析】
試題(Ⅰ)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,一般利用待定系數(shù)法,只需一個(gè)獨(dú)立條件確定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由拋物線方程確定其準(zhǔn)線方程:,(Ⅱ)由題意設(shè):,先由直線OA與的距離等于根據(jù)兩條平行線距離公式得:解得,再根據(jù)直線與拋物線C有公共點(diǎn)確定
試題解析:解 (1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為
其準(zhǔn)線方程為.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線,
其方程為.
由得.
因?yàn)橹本與拋物線C有公共點(diǎn),
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直線OA到的距離
可得,解得.
因?yàn)椋?/span>1[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合題意的直線存在,其方程為.
考點(diǎn):拋物線方程,直線與拋物線位置關(guān)系
【名師點(diǎn)睛】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程
(1)方法:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法,因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條件確定p值即可.
(2)流程:因?yàn)閽佄锞方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量.
提醒:求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式,必要時(shí)要進(jìn)行分類討論,標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2=mx或x2=my(m≠0).
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過橢圓左焦點(diǎn)交橢圓于,為橢圓短軸的上頂點(diǎn),當(dāng)直線時(shí),求的面積.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),得到的一個(gè)關(guān)系式,結(jié)合求得的關(guān)系式,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,由此求得的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(2)根據(jù)(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得和的斜率,寫出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理,利用弦長公式求得,由兩點(diǎn)間距離公式求得,進(jìn)而求得三角形的面積.
(1)由題意知,即,,
即,
∵在橢圓上,∴,,,
所以橢圓的方程為.
(2),則,
,∴,
∴直線的方程為:,
將其代入:得:
設(shè),
∴,,
,
又,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),且f(1)=6,f(3)=2.若不等式f(x)>2mx+1在[-1,3]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市每年春節(jié)前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴(yán)重.該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn),每天空氣污染的指數(shù).f(t),隨時(shí)刻t(時(shí))變化的規(guī)律滿足表達(dá)式,其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù),且a∈(0,1).
(1)令,求x的取值范圍;
(2)若規(guī)定每天中f(t)的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù),要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5,試求調(diào)節(jié)參數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是雙曲線:的右焦點(diǎn),是左支上的點(diǎn),已知,則周長的最小值是_______.
【答案】
【解析】
設(shè)左焦點(diǎn)為,利用雙曲線的定義,得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),三角形的周長取得最小值,并求得最小的周長.
設(shè)左焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線的定義可知,所以三角形的周長為,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,三角形的周長取得最小值. ,故三角形周長的最小值為.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查雙曲線的定義,考查三角形周長最小值的求法,屬于中檔題.
【題型】填空題
【結(jié)束】
16
【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作垂直與軸的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),若為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:①函數(shù);
②向量,,且,;
③函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)
請?jiān)谏鲜鋈齻(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答.
已知_________________,且函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)若,且,求的值;
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角中,,,點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ) 若,求的長;
(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且,問:當(dāng)取何值時(shí),的面積最?并求出面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面ABC,,E是BC的中點(diǎn),.
求異面直線AE與所成的角的大;
若G為中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:①若直線,那么直線必平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線;②一個(gè)長為,寬為的矩形,其直觀圖的面積為;③若函數(shù)的定義域是,則的定義域是;④定義在上的函數(shù),若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.其中所有正確命題的編號(hào)為____________.
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