Question

已知圓M經過三點A（2，2），B（2，4），C（3，3），從圓M外一點P（a，b）向該圓引切線PT，T為切點，且|PT|=|PO|（O為坐標原點）．
（1）求圓M的方程；
（2）試判斷點P是否總在某一定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將三點A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法二：設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），將三點A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法三：求線段AB的垂直平分線與線段AC的垂直平分線的交點，可求圓心M的坐標，進而可求圓M的半徑，從而可求圓M的方程；
解法四：可判斷△ABC是直角三角形，進而可求圓M的圓心M的坐標為AB的中點（2，3），半徑，從而可求圓M的方程；
（2）連接PM，根據，，利用|PT|=|PO|，可判斷點P總在定直線上．
解答：解：（1）解法一：設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（1分）
∵圓M經過三點A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴…（4分）
解得 …（7分）
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法二：設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），…（1分）
∵圓M經過三點A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴…（4分）
解得…（7分）
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法三：∵A（2，2），B（2，4），
∴線段AB的垂直平分線方程為y=3，…（2分）
∵A（2，2），C（3，3），
∴線段AC的垂直平分線方程為即x+y-5=0，…（4分）
由解得圓心M的坐標為（2，3）．…（6分）
故圓M的半徑．
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法四：∵，，，…（2分）
∴|AC|²+|BC|²=4=|AB|²．
∴△ABC是直角三角形．…（4分）
∵圓M經過A，B，C三點，
∴圓M是Rt△ACB的外接圓．…（6分）
∴圓M的圓心M的坐標為AB的中點（2，3），半徑．
∴圓M的方程為（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
（2）連接PM，則，…（10分）
∵，且|PT|=|PO|，
∴，…（12分）
化簡得2a+3b-6=0．
∴點P總在定直線2x+3y-6=0上．…（14分）
點評：本題主要考查直線和圓等基本知識，考查運算求解能力和抽象概括能力，利用待定系數法，確定圓的方程是解題的關鍵．