Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可由求得其首項(xiàng)與公差，繼而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，用裂項(xiàng)法可求得=（-），從而可求得T_n-=-（+），利用遞增函數(shù)的定義再證明數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列，即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+．…（1分）
依題意，有即…（3分）
解得a₁=6，d=4．…（5分）
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n+2（n∈N^*）．…（6分）
（2）證明：由（1）可得S_n=2n²+4n．…（7分）
∴===（-）．…（8分）
∴T_n=+++…++
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]…（9分）
=（1+--）
=-（+）．…（10分）
∵T_n-=-（+）＜0，
∴T_n＜．…（11分）
∵T_n+1-T_n=（-）＞0，所以數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列．…（12分）
∴T_n≥T₁=．…（13分）
∴≤T_n＜．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、裂項(xiàng)求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，屬于難題．