Question

3．已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l與x軸、y軸的正半軸交于兩點A，B，又O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a＞2，b＞2．
（1）求a，b滿足的條件；
（2）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得直線l：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，再由由d=r，能求出a，b滿足的條件．
（2）由a，b滿足的條件得到ab+2=2（a+b）$≥2•2\sqrt{ab}$，由此能求出△AOB的面積最小值．

解答 解：（1）∵與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l與x軸、y軸的正半軸交于兩點A，B，
又O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a＞2，b＞2，
∴直線l：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，
由d=r，知$\frac{|b+a-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=1$，
整理得a，b滿足的條件為：2-2a-2b+ab=0． （6分）
（2）∵2-2a-2b+ab=0，
∴ab+2=2（a+b）$≥2•2\sqrt{ab}$，
解得$\sqrt{ab}≤2-\sqrt{2}$或$\sqrt{ab}$≥2+$\sqrt{2}$，
又a＞2，b＞2，∴ab≥6+4$\sqrt{2}$，∴${S}_{△AOB}≥\frac{1}{2}ab=3+2\sqrt{2}$，
∴△AOB的面積最小值為3+2$\sqrt{2}$，此時a=b=2+$\sqrt{2}$．（12分）

點評 本題考查a，b滿足的條件和△AOB面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意直線方程、圓的性質、點到直線的距離、均值定理等知識點的合理運用．