Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（Ⅰ）證明：AC=BC；
（Ⅱ）證明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用三角形全等可證；
（Ⅱ）先證AB⊥平面PDC，再由線面垂直的性質(zhì)證明AB⊥PC；
（Ⅲ）作BE⊥PC，垂足為E，連結(jié)AE．證明∠AEB為二面角B-PC-A的平面角，求得三角形ABE的面積，根據(jù)V_P-ABC=

1

3

×S_△ABE×PC計(jì)算．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°，
∴Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC=BC；

（Ⅱ）如圖，取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD，
則PD⊥AB，CD⊥AB，
∴AB⊥平面PDC，PC?平面PDC，
∴AB⊥PC；

（Ⅲ）作BE⊥PC，垂足為E，連結(jié)AE．
∵△PAB是等邊三角形，∴AE⊥PC，
同理BE⊥PC，∠AEB為二面角B-PC-A的平面角，且AE=BE．
∵平面PAC⊥平面PBC，∴∠AEB=90°．
∴△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
又PC=4，得AE=BE=2，∴△AEB的面積S=2．
∵PC⊥平面AEB，
∴V_P-ABC=

1

3

×2×4=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì)，考查了棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的推理論證能力及空間想象能力．