Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，D、E、F分別是PC、AC、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：平面DEF∥平面PAB；
（2）證明：AB⊥PC；
（3）若AB=2PC=

2

，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面平行的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理可得EF∥AB，DF∥PB，利用面面平行的判定定理可證平面DEF∥平面PAB；
（2）先證AB⊥平面PGC，再由線面垂直的性質(zhì)得AB⊥PC．
（3）先求得三角形PGC的面積，根據(jù)V_P-ABC=

1

3

×S_△PGC×AB計(jì)算棱錐的體積．

解答： 解：（1）證明：∵E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB．
∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理DF∥平面PAB．
∵EF∩DF=F且EF?平面DEF，DF?平面DEF，
∴平面DEF∥平面PAB．
（2）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、CG，
∵△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴PG⊥AB，CG⊥AB，

∵PG∩CG=G，且PG?平面PCG，CG?平面PCG，∴AB⊥平面PCG．
∵PC?平面PCG，∴AB⊥PC；
（3）解：在等腰直角三角形PAB中，AB=

2

，G是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴PG=

1

2

AB=

2

2

，
同理CG=

2

2

．                     
∵PC=

2

2

，∴△PCG是等邊三角形，
∴S△PCG=

1

2

•PG•CG•sin60°=

1

2

•

2

2

•

2

2

•

3

2

=

3

8

．
∵AB⊥平面PCG，
∴VP-ABC=

1

3

•AB•S△PCG=

1

3

•

2

•

3

8

=

6

24

．

點(diǎn)評：本題考查了面面平行的證明，線面垂直的證明及性質(zhì)及三棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力，熟練掌握面面平行的判定定理及線面垂直的判定定理的條件是關(guān)鍵．