Question

【題目】如圖，從橢圓 上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1 ， 又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且 ． （Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 若M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（4，2），求線段MN中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由題意可知， ，∵AB∥OP，
∴kAB=kOP ，
∴ ，
∵a2=b2+c2 ，
∴a2=2c2 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴橢圓方程為 ．
（Ⅱ） 設(shè)Q（x，y），已知點(diǎn)Q為線段MN中點(diǎn)，N（4，2），則M（2x﹣4，2y﹣2），
∵M(jìn)是橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)，
∴ ，
即 ．
【解析】（Ⅰ） 由題意可知：求得A，B，F(xiàn)1 ， P點(diǎn)坐標(biāo)，由kAB=kOP ， 根據(jù)斜率公式，求得b和c的值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)， ，由 ，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ） 由題意可知：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，將M代入橢圓方程，即可求得Q的軌跡方程．