Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)P（0，2）且互相垂直的兩條直線(xiàn)，l₁交E于A，B兩點(diǎn)，l₂交E交C，D兩點(diǎn)，AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求l₁的斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a求得b，則橢圓的方程可得．
（2）由題意知，直線(xiàn)l₁的斜率存在且不為零設(shè)直線(xiàn)l₁和l₂的方程，分別于橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得k的范圍，最后綜合可得答案．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），根據(jù)韋達(dá)定理求得x和y的表達(dá)式，進(jìn)而表示M和N的坐標(biāo)，最后表示出根據(jù)k的范圍確定答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
由
∴橢圓方程為；
（2）由題意知，直線(xiàn)l₁的斜率存在且不為零
∵，∴．
由消去y并化簡(jiǎn)整理，
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
根據(jù)題意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得．
同理得，
∴；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
那么，∴，∴
同理得，即
∴
∵，∴
∴
即的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．此類(lèi)題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用．