Question

11．如圖，EC切⊙O于點(diǎn)C，直線EO交⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D．
（Ⅰ）證明：CA平分∠DCE；
（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用AB為圓O的直徑，CD⊥AB，得出∠CAB+∠DCA=90°，可得∠DCA=∠B．利用EC切⊙O于點(diǎn)C，可得∠ACE=∠B，從而∠DCA=∠ACE，即可證明：CA平分∠DCE；
（Ⅱ）若EA=2AD，EC=2$\sqrt{3}$，利用射影定理，切割線定理建立方程，即可求⊙O的直徑．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB為圓O的直徑，∴∠CAB+∠B=90°，
∵CD⊥AB，∴∠CAB+∠DCA=90°，
∴∠DCA=∠B．
∵EC切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠ACE=∠B，
∴∠DCA=∠ACE，
∴CA平分∠DCE；
（Ⅱ）解：如圖，連接CO．
∵EC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥CE．
Rt△COE中，CD⊥AB．
由射影定理得EC²=ED•EO．
設(shè)圓O的半徑為r，AD=x，則EA=2x，
∵$EC=2\sqrt{3}$，
∴（2$\sqrt{3}$）²=3x（2x+r）①
由切割線定理得EC²=EA•EB，
∴（2$\sqrt{3}$）²=2x（2x+2r）②
由①②，解得x=1，r=2，
∴⊙O的直徑為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的直徑、切線的性質(zhì)，考查射影定理、切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．