Question

（2012•臨沂一模）已知點(diǎn)M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁、l₂，設(shè)l₁與拋物線相交于點(diǎn)A、B，l₂與拋物線相交于點(diǎn)D、E．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求

AD

•

EB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，利用拋物線的定義，可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)出直線l₁的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出兩根之和和兩根之積，同理將直線l₂的方程與拋物線聯(lián)立，求出兩根之和和兩根之積，將數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用拋物線的定義及基本不等式求最值，即可求得

AD

•

EB

的最小值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M（1，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為2，
∴1+

p

2

=2，∴p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零，設(shè)為k，則l₁的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率為-

1

k

，同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．

AD

•

EB

= (

AF

+

FD

)•(

EF

+

FB

)=

AF

•

FB

+

FD

•

EF

=|

AF

|•|

FB

|+|

FD

|•|

EF

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+x₃+x₄+1
=8+4（k²+

1

k2

）≥8+4×2=16，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=

1

k2

，即k=±1時(shí)，

AD

•

EB

的最小值為16．

點(diǎn)評：本題考查定義法求拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是數(shù)量積的等價(jià)轉(zhuǎn)化及基本不等式的運(yùn)用．