【題目】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象過坐標原點,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=6x﹣2,數(shù)列{an}前n項和為Sn , 點(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè) ,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求當 對所有n∈N*都成立m取值范圍.
【答案】
(1)解:依題意,f(x)=3x2﹣2x,
∵點(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的圖象上,
∴Sn=f(n)=3n2﹣2n,
當n≥2時,Sn﹣1=3(n﹣1)2﹣2(n﹣1),
兩式相減得:an=6n﹣5(n≥2),
又∵a1=S1=3﹣2=1滿足上式,
∴數(shù)列{an}的通項公式an=6n﹣5
(2)解:由(1)可知 = = ( ﹣ ),
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )= (1﹣ )= ,
∵Tn= (1﹣ )隨著n的增大而增大,
∴Tn≥T1= = ,
又∵ 對所有n∈N*都成立,
∴ ≥ ,解得:m≤
【解析】(1)通過圖象特征及導(dǎo)函數(shù)可知f(x)=3x2﹣2x,并代入點(n,Sn)(n∈N*)整理可知Sn=3n2﹣2n,進而與Sn﹣1=3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)(n≥2)作差,計算即得結(jié)論;(2)通過(1)裂項可知bn= ( ﹣ ),進而并項相加可知Tn= ,通過Tn= (1﹣ )隨著n的增大而增大可知 ≥ ,進而計算可得結(jié)論.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本求導(dǎo)法則對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減;若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 通項公式為 .
(1)計算f(1),f(2),f(3)的值;
(2)比較f(n)與1的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點,求證:
(Ⅰ)平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)A1C//平面AB1E.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)對任意的x∈(﹣ , )滿足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是( )
A. f(﹣ )<f(﹣ )
B. f( )<f( )??
C.f(0)>2f( )
D.f(0)> f( )
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【題目】已知橢圓C中心在原點,焦點在坐標軸上,且該橢圓經(jīng)過點( , )和點 .求
(1)橢圓C的方程;
(2)P,Q,M,N四點在橢圓C上,F(xiàn)1為負半軸上的焦點,直線PQ,MN都過F1且 ,求四邊形PMQN的面積最小值和最大值.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2 , 離心率為e.直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B,M是直線l與橢圓C的一個公共點,P是點F1關(guān)于直線l的對稱點,設(shè) =λ .
(1)證明:λ=1﹣e2;
(2)若λ= ,△MF1F2的周長為6;寫出橢圓C的方程;
(3)確定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
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【題目】已知橢圓方程是 =1,F(xiàn)1 , F2是它的左、右焦點,A,B為它的左、右頂點,l是橢圓的右準線,P是橢圓上一點,PA、PB分別交準線l于M,N兩點.
(1)若P(0, ),求 的值;
(2)若P(x0 , y0)是橢圓上任意一點,求 的值;
(3)能否將問題推廣到一般情況,即給定橢圓方程是 =1(a>b>0),P(x0 , y0)是橢圓上任意一點,問 是否為定值?證明你的結(jié)論.
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