(2013•徐州三模)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2-x,a∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)設函數(shù)y=f(x)的圖象被點P(2,f(2))分成的兩部分為c1,c2(點P除外),該函數(shù)圖象在點P處的切線為l,且c1,c2分別完全位于直線l的兩側(cè),試求所有滿足條件的a的值.
分析:(1)函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)只需要2ax2+x-1≤0對任意的x》0恒成立?2a≤
1
x2
-
1
x
=(
1
x
-
1
2
)2-
1
4
成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的取值范圍;
(2)依題意可求得f(x)在點x=2處的切線l方程,假設滿足條件的a存在,令g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-
1
2
)(x-2)+ln2-4a-2]
,對a分類討論,利用導數(shù)工具研究它的性質(zhì),利用g′(x)的單調(diào)性即可分析判斷a是否存在.
解答:解:(1)f′(x)=
1
x
-2ax-1=-
2ax2+x-1
x
(x>0)
,…(2分)
只需要2ax2+x-1≤0,即2a≤
1
x2
-
1
x
=(
1
x
-
1
2
)2-
1
4
,
所以a≤-
1
8
.…(4分)
(2)因為f′(x)=
1
x
-2ax-1

所以切線l的方程為y=(-4a-
1
2
)(x-2)+ln2-4a-2

g(x)=lnx-ax2-x-[(-4a-
1
2
)(x-2)+ln2-4a-2]
,則g(2)=0.g′(x)=
1
x
-2ax+4a-
1
2
=-
2ax2-(4a-
1
2
)x-1
x
.…(6分)
若a=0,則g′(x)=
2-x
2x
,
當x∈(0,2)時,g'(x)>0;當x∈(2,+∞)時,g'(x)<0,
所以g(x)≥g(2)=0,c1,c2在直線l同側(cè),不合題意;…(8分)
若a≠0,g′(x)=-
2a(x-2)(x+
1
4a
)
x

a=-
1
8
,g′(x)=
(
x
2
-1)
2
x
≥0
,g(x)是單調(diào)增函數(shù),
當x∈(2,+∞)時,g(x)>g(2)=0;當x∈(0,2)時,g(x)<g(2)=0,符合題意;…(10分)
a<-
1
8
,當x∈(-
1
4a
,2)
時,g'(x)<0,g(x)>g(2)=0,
當x∈(2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)>g(2)=0,不合題意; …(12分)
-
1
8
<a<0
,當x∈(2,-
1
4a
)
時,g'(x)<0,g(x)<g(2)=0,
當x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)<g(2)=0,不合題意; …(14分)
若a>0,當x∈(0,2)時,g'(x)>0,g(x)<g(2)=0,
當x∈(2.+∞)時,g'(x)<0,g(x)<g(2)=0,不合題意.
故只有a=-
1
8
符合題意.  …(16分)
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,著重考查構(gòu)造函數(shù)的思想,函數(shù)與方程,分類討論與化歸思想的綜合運用,屬于難題.
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