橢圓的中心在原點O,短軸長為,左焦點為F(-c,0)(c＞0),相應(yīng)的準線l與x軸交于點A,且點F分的比為3,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.

(1)求橢圓的方程;

(2)若PF⊥QF,求直線PQ的方程.

解:(1)設(shè)=1,則c2+(3)2=a2,準線l:x=,?

由點F分的比為3，得-c=3c,?

解得a2=4,c=1,得橢圓方程為=1                                                                 ?

(2)設(shè)PQ：y=k(x+4),P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-1,0).??

∵PF⊥QF,?

∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,?

即(x1+1)(x2+1)+k2(x1+4)(x2+4)=0,?

(1+k2)x1x2+(1+4k2)(x1+x2)+(1+16k2)=0,                                                                     ?

聯(lián)立?

消去y得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,?

∴x1x2=,x1+x2=-.                                                                        ?

代入化簡得8k2=1.∴k=±.?

∴直線PQ的方程為y=(x+4)或y=-(x+4).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓Γ的中心在原點O，焦點在x軸上，直線l：x+
3
y-
3
=0與橢圓Γ交于A、B兩點，|AB|=2，且∠AOB=
π
2
．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若M、N是橢圓Γ上的兩點，且滿足
OM
•
ON
=0，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在x軸上，過右焦點F的直線與右準線交于點D，與橢圓交于A、B兩點，右準線與x軸交于C點，若|
FC
|，|
CD
|，|
FD
|成等差數(shù)列，且公差等于短軸長的
1
6
．
（1）求橢圓的離心率； 
（2）若△OAB的面積為20
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)二模）已知橢圓的中心在原點O，離心率e=
3
2
，短軸的一個端點為（0，
2
），點M為直線y=
1
2
x與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點，平行于OM的直線l交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•通州區(qū)一模）已知橢圓的中心在原點O，短半軸的端點到其右焦點F（2，0）的距離為
10
，過焦點F作直線l，交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求這個橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若橢圓上有一點C，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線l的斜率．

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