Question

數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為常數(shù)，，t≠0，n≥2）
（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}的公比為f（t），數(shù)列{b_n}（滿足b₁=1，，求b_n；
（3）數(shù)列{c_n}的通項為，那么是否存在實數(shù)t，使得數(shù)列{（-1）ⁿc_n+c_n+1}中的每一項都大于1？若存在，求出t的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，由此能夠證明：{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由，知．
（3）由，當(dāng)n為奇數(shù)時，對所有奇數(shù)成立；當(dāng)n為偶數(shù)時，對所有偶數(shù)成立，由此能夠求出存在滿足條件的實數(shù)t，t＞6或且．
解答：解：（1）由題意，可得
，
兩式相減，得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
即
又3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，
∴，
∴
所以，{a_n}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2），
∴；
（3）
①當(dāng)n為奇數(shù)時，
若存在滿足條件的t，
則對所有奇數(shù)成立，
即對所有奇數(shù)成立，
所以，
∴或
②當(dāng)n為偶數(shù)時，
若存在滿足條件的t，則對所有偶數(shù)成立，
即對所有偶數(shù)成立，
所以，
∴t＞6或
綜合之，存在滿足條件的實數(shù)t，t＞6或且．
點評：本題考查不等式和數(shù)列的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．