Question

17．如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)M是上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）化簡(jiǎn)$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）；
（2）若$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．

Answer 1

分析 根據(jù)平行六面體中的相等向量或相反向量，利用向量的運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是上底面A₁B₁C₁D₁的中心；
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$+$\overrightarrow{{{A}_{1}D}_{1}}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{A}_{1}C}_{1}}$
=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}M}$
=$\overrightarrow{AM}$；
（2）∵$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}M}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{{B}_{1}D}_{1}}$
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{B}_{1}A}_{1}}$+$\overrightarrow{{{B}_{1}C}_{1}}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
且$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，z=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相等向量與相反向量以及向量線性運(yùn)算法則的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．