Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a

x

-3ln x．
（1）a=2時，求f（x）的最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a的值代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)等于0解得導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得元函數(shù)的最小值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a=0和a＞0兩種情況分析f（x）在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)時的導(dǎo)函數(shù)的符號，對于a＞0時，由導(dǎo)函數(shù)在x∈[1，2]時小于等于0恒成立列式求解a的取值范圍．

解答：解：（1）由a=2，得f(x)=2x+

2

x

-3lnx(x＞0)，
∴f′(x)=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

．
令f′（x）=0，得x=2或x=-

1

2

．
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)		增函數(shù)

∴f（x）_min=f（2）=5-3ln2；
（2）f′(x)=a-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

．
若a=0，x∈[1，2]時f′（x）＜0
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
若a＞0，由f′（1）＜0，且f（x）在[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≤0對x∈[1，2]恒成立，
即x∈[1，2]時，g（x）=ax²-3x-a≤0恒成立，
∴

a＞0 g(1)≤0 g(2)≤0

，即

a＞0 -3≤0 4a-6-a≤0

，解得0＜a≤2．
綜上得0≤a≤2．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了借助于“三個二次”的結(jié)合解決問題，是中檔題．