Question

8．求函數(shù)$y={sin^2}x+cosx+1，x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$的最大、小值，及取得最大、小值時x的取值集合．

Answer 1

分析 問題可化為y=-t²+t+2（0≤t≤1）的最值，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：由題意可得y=1-cos²x+cosx+1=-cos²x+cosx+2，
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴0≤cosx≤1，
設(shè)t=cosx，則y=-t²+t+2（0≤t≤1）
∵關(guān)于t的二次函數(shù)開口向下，對稱軸$t=-\frac{1}{2×（-1）}=\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)y=-t²+t+2在$[0，\frac{1}{2}]$上為增函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，1]$上為減函數(shù)，
∴當(dāng)$t=\frac{1}{2}$時，${y_{max}}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，
此時$cosx=\frac{1}{2}$，$x=\frac{π}{3}$或$-\frac{π}{3}$，集合為$\left\{{\frac{π}{3}，-\frac{π}{3}}\right\}$；
當(dāng)t=1或t=0時，y_min=2，時cosx=0或cosx=1
此時$x=\frac{π}{2}$或$-\frac{π}{2}$或x=0，集合為$\left\{{\frac{π}{2}，-\frac{π}{2}，0}\right\}$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．