Question

10．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2y-x-1≥0}\\{2y-3x+1≤0}\\{2y+x-11≤0}\end{array}\right.$，z=ax+by（a＞b＞0）最大值為12，則$\frac{5}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{31+10\sqrt{6}}{12}$
• B． $\frac{23+4\sqrt{30}}{12}$
• C． $\frac{7+2\sqrt{10}}{12}$
• D． 4

Answer 1

分析 作出可行域，由線性規(guī)劃可得5a+3b=12，代入可得$\frac{5}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{12}$（31+$\frac{15b}{a}$+$\frac{10a}$），由基本不等式可得．

解答 解：作出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2y-x-1≥0}\\{2y-3x+1≤0}\\{2y+x-11≤0}\end{array}\right.$所對應的可行域（如圖陰影），
變形目標函數(shù)y=-$\frac{a}$x+$\frac{1}$z，平移直線y=-$\frac{a}$x可得
當直線經(jīng)過點A（5，3）時，z取最大值，∴5a+3b=12，
∴$\frac{5}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{12}$（$\frac{5}{a}$+$\frac{2}$）（5a+3b）=$\frac{1}{12}$（31+$\frac{15b}{a}$+$\frac{10a}$）
≥$\frac{1}{12}$（31+2$\sqrt{\frac{15b}{a}•\frac{10a}}$）=$\frac{31+10\sqrt{6}}{12}$
故選：A．

點評 本題考查簡單線性規(guī)劃，涉及基本不等式求最值，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題．