Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，右準線方程為．

求橢圓C的標準方程；

已知斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且點A在第三象限內為橢圓C的上頂點，記直線MA，MB的斜率分別為，．

若直線l經過原點，且，求點A的坐標；

若直線l過點，試探究是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②為定值1.

【解析】

（1）由已知列關于a，c的方程組，求解可得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓C的標準方程可求；

（2）①設A（x1，y1），M（0，1），由橢圓對稱性可知B（﹣x1，﹣y1），由點A（x1，y1）在橢圓上，得到，求出k1k2，結合k1﹣k2，可得k1＝1，則直線MA的方程可求，再與橢圓方程聯立即可求得A的坐標；

②直線l過點（﹣2，﹣1），設其方程為y+1＝k（x+2），與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系即可得到k1+k2是定值．

（1）因為橢圓的離心率為，右準線方程為，

所以，

解得.

又因為.

所以橢圓的標準方程為.

（2）設，，為橢圓的上頂點，則.

①因為直線經過原點，由橢圓對稱性可知.

因為點在橢圓上，所以，即.

因為，.

所以.

所以，解得或.

因為點在第三象限內，所以，所以，則直線的方程為.

聯結方程組，解得或，所以.

（解出，，也可根據，，求出點的坐標）

②直線過點，設其方程為.

聯列方程組，消去可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．

當時，由韋達定理可知，.

又因為

.

所以為定值1.