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函數f(x)=(a+cosx)(a+sinx)(其中a≥0)的最大值g(a)=
a2+
2
a+
1
2
a2+
2
a+
1
2
分析:把函數解析式利用多項式的乘法法則去括號后,設sinx+cosx=t,根據同角三角函數間的基本關系用t表示出sinxcosx,把函數解析式化為g(t)關于t的二次函數,根據t的范圍,利用二次函數的性質,即可得到最大值g(a)的關系式.
解答:解:f(x)=(a+cosx)(a+sinx)
=a2+sinxcosx+a(sinx+cosx)
設sinx+cosx=t,即
2
sin(x+
π
4
)=t,
∴t∈[-
2
,
2
],
∵(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
則有sinxcosx=
t2-1
2

g(t)=a2+
t2-1
2
+at=
1
2
t2+at+a2-
1
2
,
由g(t)為關于t的二次函數,其對稱軸為x=-a,
此時函數的最大值g(a)=g(
2
)=a2+
2
a+
1
2

故答案為:a2+
2
a+
1
2
點評:此題考查了同角三角間的基本關系,二次函數的性質,兩角和與差的正弦函數公式,以及正弦函數的定義域及值域,利用換元的思想,把此題轉化為求函數g(t)的最大值問題,從而根據二次函數的性質來解決.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=
3
sinxcosx+cos2x+a.
(1)寫出函數f(x)的最小正周期及單調遞減區(qū)間;
(2)當x∈[-
π
6
,
π
3
]時,函數f(x)的最大值與最小值的和為
3
2
,求f(x)的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[-2,2]上的值不大于2,則函數g(a)=log2a的值域是( 。
A、[-
1
2
,0)∪(0,
1
2
]
B、(-∞,-
1
2
)∪(0,
1
2
]
C、[-
1
2
1
2
]
D、[-
1
2
,0)∪[
1
2
,+∞)

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科目:高中數學 來源: 題型:

如果函數f(x)=ax2+(a+3)x-1在區(qū)間(-∞,1)上為遞增的,則a的取值范圍是( 。
A、[-1,0)B、(-1,0]C、(-1,0)D、[-1,0]

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科目:高中數學 來源: 題型:

8、已知函數f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b為常數,則方程f(ax+b)=0的解集為

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=4lnx-ax+
a+3
x
(a≥0)
(Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)當a≥1時,設g(x)=2ex-4x+2a,若存在x1,x2∈[
1
2
,2],使f(x1)>g(x2),求實數a的取值范圍.(e為自然對數的底數,e=2.71828…)

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