Question

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25，甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05
（1）分別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P_甲，P_乙；
（2）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如右表所示，且該廠有工人32名，可用資金55萬元．設(shè)x，y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（1）的條件下，求x，y為何值時，z=xP_甲+yP_乙最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)題意，列出相應(yīng)的不等式組，作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特征用線性規(guī)劃的相關(guān)知識找到最優(yōu)解．

解答：解：（1）依題意得：

P甲-P乙=0.25 1-P甲=P乙-0.05

，
解得：

Pl甲=0.65 P乙=0.4

故甲產(chǎn)品為一等品的概率P_甲=0.65，乙產(chǎn)品為一等品的概率P_乙=0.4
（2）依題意得x，y應(yīng)滿足的約束條件為：

4x+8y≤32 20x+5y≤55 x≥0 y≥0

，
且z=0.65x+0.4y
作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖陰影部分），即可行域．
作直線l：0.65x+0.4y=0，即13x+8y=0，把直線l向上方平移到l₁的位置時，直線經(jīng)過可行域的點M，且l₁與原點的距離最大，此時z取最大值．
解方程組

4x+8y=32 20x+5y=55

，得x=2，y=3
故M的坐標(biāo)為（2，3），所以z的最大值為z_max=0.65×2+0.4×3=2.5

點評：本題主要考查了等可能事件的概率、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．