分析 (1)f(2)=-3,代值計算即可.
(2)根據(jù)對數(shù)的運算法則進行化簡,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,討論a的取值范圍進行求解即可.
(3)根據(jù)條件得到f(t)-f(t+1)≤1,恒成立,利用換元法進行轉(zhuǎn)化,結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
解答 解:(1)f(2)=-3,
∴l(xiāng)og2(12+a)=-3=log218,
∴12+a=18,
解得a=-38
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0得log2(1x+a)-log2[(a-4)x+2a-5]=0.
即log2(1x+a)=log2[(a-4)x+2a-5],
即1x+a=(a-4)x+2a-5>0,①
則(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
即(x+1)[(a-4)x-1]=0,②,
當(dāng)a=4時,方程②的解為x=-1,代入①,成立
當(dāng)a=3時,方程②的解為x=-1,代入①,成立
當(dāng)a≠4且a≠3時,方程②的解為x=-1或x=1a−4,
若x=-1是方程①的解,則1x+a=a-1>0,即a>1,
若x=1a−4是方程①的解,則1x+a=2a-4>0,即a>2,
則要使方程①有且僅有一個解,則1<a≤2.
綜上,若方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一個元素,則a的取值范圍是1<a≤2,或a=3或a=4.
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,
由題意得f(t)-f(t+1)≤1,
即log2(1t+a)-log2(1t+1+a)≤1,
即1t+a≤2(1t+1+a),即a≥1t-2t+1=1−tt(t+1)
設(shè)1-t=r,則0≤r≤12,1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=rr2−3r+2,
當(dāng)r=0時,rr2−3r+2=0,
當(dāng)0<r≤12時,rr2−3r+2=1r+2r−3,
∵y=r+2r在(0,√2)上遞減,
∴r+2r≥12+4=92,
∴rr2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23,
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥23
點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解,以及對數(shù)不等式的應(yīng)用,利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,難度較大.
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A. | 5、3、0.8 | B. | 10、6、0.8 | C. | 5、3、0.6 | D. | 10、6、0.6 |
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