Question

9．根據下列條件分別求橢圓的標準方程：
（1）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為$\frac{4}{3}\sqrt{5}$和$\frac{2}{3}\sqrt{5}$，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；
（2）經過兩點A（0，2）和$B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，由題意知$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}$，解得a．在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令x=±c，得|y|；在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令y=±c，得|x|，進而得出．
（2）設經過兩點$A（0，2），B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$的橢圓標準方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B即可得出．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，
則由題意知$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}$，∴$a=\sqrt{5}$．
在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令x=±c，得$|y|=\frac{b^2}{a}$，
在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令y=±c，得$|x|=\frac{b^2}{a}$，
依題意并結合圖形知$\frac{b^2}{a}=\frac{2}{3}\sqrt{5}$，∴${b^2}=\frac{10}{3}$，
即橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{{3{y^2}}}{10}=1$或$\frac{y^2}{5}+\frac{{3{x^2}}}{10}=1$．
（2）設經過兩點$A（0，2），B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$的橢圓標準方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B可得：$\left\{{\begin{array}{l}{4n=1}\\{\frac{1}{4}m+3n=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$，
故所求橢圓方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．