Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=x（2+x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并寫出單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當x＞0，則-x＜0，由已知表達式可求得f（-x），由奇函數的性質可得f（x）與f（-x）的關系，從而可求出f（x）；
（2）根據函數的解析式，得出函數f（x）的圖象，從而寫出單調區(qū)間．

解答 解：（1）設x＞0，則-x＜0，
∵當x≤0時，f（x）=x（2+x），
∴f（-x）=-x（2-x）．
又f（x）是定義在R上的奇函數，即f（-x）=-f（x），
∴當x＞0時，f（x）=x（2-x）．
故函數f（x）的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（2+x），x≤0\\ x（2-x），x＞0\end{array}\right.$．
（2）

函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[-1，1]，單調遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）．

點評 本題考查函數解析式的求解及奇函數的性質，考查函數的圖象與單調性，屬中檔題．