Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+a

x

（1）證明 當(dāng)a=-1，0＜x＜1時(shí)，f（x）＞-

1

x

；
（2）討論f（x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，令F（x）=f（x）+

1

x

=lnx-

x

+

1

x

，（1＞x＞0）．則F′(x)=

1

x

-

1

2 x

-

1

x2

=

2x-x x -2

2x2

．令

x

=t（t∈（0，1））．可得F′（x）=g（t）=

-t3+2t2-2

2t4

．令h（t）=-t³+2t²-2，t∈（0，1）．則h′（t）=-3t²+4t=t（4-3t）＞0，可得h（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，可得h（t）＜h（1）=-1+2-2=-1＜0．于是F′（x）＜0，即可得到F（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)性．
（2）f(x)=lnx+a

x

，（x＞0）.f′(x)=

1

x

+

a

2 x

=

2+a x

2x

．對(duì)a分類討論：①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．可得函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)在（0，1）上．②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=

4

a2

．可以判定函數(shù)f（x）在x=

4

a2

處取得極大值，即最大值f(

4

a2

)=f(

4

a2

)=2ln

2

-ae

．通過對(duì)最大值的討論即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：（1）證明：當(dāng)a=-1時(shí)，令F（x）=f（x）+

1

x

=lnx-

x

+

1

x

，（1＞x＞0）．
則F′(x)=

1

x

-

1

2 x

-

1

x2

=

2x-x x -2

2x2

．
令

x

=t（t∈（0，1））．則F′（x）=g（t）=

-t3+2t2-2

2t4

．
令h（t）=-t³+2t²-2，t∈（0，1）．
則h′（t）=-3t²+4t=t（4-3t）＞0，
∴h（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，∴h（t）＜h（1）=-1+2-2=-1＜0．
∴F′（x）＜0，∴F（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，
∴F（x）＞F（1）=0-1+1=0，即f(x)＞-

1

x

．
（2）解：f(x)=lnx+a

x

，（x＞0）．
f′(x)=

1

x

+

a

2 x

=

2+a x

2x

．
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=a＞0，因此f（x）在[1，+∞）上無零點(diǎn)，函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)在（0，1）上．
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=

4

a2

．
由f′（x）＞0，解得0＜x＜

4

a2

，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；由f′（x）＜0，解得x＞

4

a2

，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=

4

a2

處取得極大值，即最大值f(

4

a2

)=f(

4

a2

)=2ln

2

-ae

．
1°令f(

4

a2

)=0，解得a=-

2

e

．即當(dāng)a=-

2

e

時(shí)，函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x=e²．
2°當(dāng)-

2

e

＜a＜0時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂．其中，x1∈(0，

4

a2

)，x2∈(

4

a2

，+∞)．
3°當(dāng)a＞-

2

e

時(shí)，f(

4

a2

)＜0，此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)在（0，1）上．
當(dāng)-

2

e

＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂．其中，x1∈(0，

4

a2

)，x2∈(

4

a2

，+∞)．
當(dāng)a＞-

2

e

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法技能，屬于難題．