Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長軸長與短軸長之差是2

2

-2，且右焦點F到此橢圓一個短軸端點的距離為

2

，點C（m，0）是線段OF上的一個動點（O為坐標原點）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得（

CA

+

CB

）⊥

BA

，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由長軸長與短軸長之差為2

2

-2，得2a-2b=2

2

-2，由右焦點F到此橢圓一個短軸端點的距離為

2

，可得a值；
（Ⅱ）先由（1）求得m的范圍，假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（

CA

+

CB

）⊥

BA

，得（

CA

+

CB

）•

BA

=0①，易知AB的方向向量為（1，k），聯(lián)立直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組，消掉y得x的二次方程，由韋達定理、向量運算可用k表示

CA

+

CB

，代入①式得k的方程，有解則存在，否則即不存在；

解答：解：（Ⅰ）由題意可知a-b=

2

-1，又

c2+b2

=

2

，a²=b²+c²，
解得a=

2

，b=c=1，
所以橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

①，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

2k2+1

，
所以

CA

+

CB

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（

4k2

2k2+1

-2m，

-2k

2k2+1

），
因為（

CA

+

CB

）⊥

BA

，而AB的方向向量為（1，k），
所以

4k2

2k2+1

-2m+

-2k

2k2+1

×k=0⇒（1-2m）k²=m，
所以當0≤m＜

1

2

時，k=±

m 1-2m

，即存在這樣的直線l；
當

1

2

≤k≤1時，不存在這樣的直線l．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學生的探究能力，考查學生對問題的分析解決能力，存在性問題常假設(shè)存在然后由此出發(fā)進行推理．