Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝PB＝1，AD＝，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(1)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；

(3)當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)點E為BC的中點時，EF∥平面PAC． 　　證明如下：∵BE＝CE，BF＝PF∴EF∥PC 　　又EF在平面PAC外，PC在平面PAC內(nèi)，所以EF∥平面PAC 　　(2)∵PA＝AB，BF＝PF∴AF⊥PB∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC 　　又BC⊥AB∴BC⊥平面PAB而AF在平面PAB內(nèi)，∴AF⊥BC 　　∵BC、PB是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線∴AF⊥平面PBC 　　∵無論點E在BC邊的何處，PE都在平面PBC內(nèi)∴PE⊥AF 　　(3)利用空間向量來解．以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz．設(shè)BE＝m， 　　則A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(，0，0)，E(m，1，0)， 　　∴，，， 　　設(shè)平面PDE的法向量為，則， 　　∴，，令x＝1，得， 　　∵PA與平面PDE所成角的大小為45°∴， 　　解得或(舍) 　　因此，當BE＝時，PA與平面PDE所成角的大小為45°．