如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=PB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.

(1)點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)證明:無論點E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;

(3)當BE等于何值時,PA與平面PDE所成角的大小為45°.

答案:
解析:

  解:

  (1)點E為BC的中點時,EF∥平面PAC.

  證明如下:∵BE=CE,BF=PF∴EF∥PC

  又EF在平面PAC外,PC在平面PAC內(nèi),所以EF∥平面PAC

  (2)∵PA=AB,BF=PF∴AF⊥PB∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC

  又BC⊥AB∴BC⊥平面PAB而AF在平面PAB內(nèi),∴AF⊥BC

  ∵BC、PB是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線∴AF⊥平面PBC

  ∵無論點E在BC邊的何處,PE都在平面PBC內(nèi)∴PE⊥AF

  (3)利用空間向量來解.以A為原點,AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.設(shè)BE=m,

  則A(0,0,0),P(0,0,1),D(,0,0),E(m,1,0),

  ∴,,

  設(shè)平面PDE的法向量為,則,

  ∴,,令x=1,得

  ∵PA與平面PDE所成角的大小為45°∴,

  解得(舍)

  因此,當BE=時,PA與平面PDE所成角的大小為45°.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,點E在線段AD上,CE∥AB.
(Ⅰ)求證:CE⊥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=AB=1,AD=3,且CD與平面PAD所成的角為45°,求點D到平面PCE的距離.

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,AC∩BD=O,PA⊥底面ABCD,OE⊥PC于E.
(1)求證:PC⊥平面BDE;
(2)設(shè)PA=AB=2,求二面角B-PC-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,點E,F(xiàn)分別是AB和PC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)若CD=2PD=2AD=2,四棱錐P-ABCD外接球的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=
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CD=2,PA=2,M,E,F(xiàn)分別是PA,PC,PD的中點.
(1)證明:EF∥平面PAB;
(2)證明:PD⊥平面ABEF;
(3)求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值.

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