Question

9．已知約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤10}\\{2x+y≥6}\\{y≥0}\end{array}}$．
（1）在如圖網(wǎng)格線內(nèi)建立坐標系，并畫出可行域；
（2）求目標函數(shù)z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$的最值并指出取得最值時的最優(yōu)解．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域，進行作圖即可．
（2）根據(jù)方式函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：（1）不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
（2）z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）+y+1}{x+1}$=2+$\frac{y+1}{x+1}$，
設(shè)k=$\frac{y+1}{x+1}$，
則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-1，-1）的斜率，
由圖象知AD的斜率最大，CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+2y=10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=10}\end{array}\right.$，即C（10，0），則CD的斜率k=$\frac{0+1}{10+1}$=$\frac{1}{11}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=10}\\{2x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$），AD的斜率k=$\frac{\frac{14}{3}+1}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{17}{5}$，
即$\frac{1}{11}$≤k≤$\frac{17}{5}$，
則$\frac{23}{11}$≤k+2≤$\frac{27}{5}$，
即$\frac{23}{11}$≤z≤$\frac{27}{5}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用分式的性質(zhì)結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．