Question

1．已知⊙O是邊長為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓，P是⊙O上任意一點，則AP+$\sqrt{2}$BP的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 連接OA、OE、OB，OB交⊙O于點P，此時BP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP的值最��；由⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓得出BE=OE=OP=$\frac{1}{2}$BC=1，OE⊥BC，OA⊥OB，OB=OA=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$，得出BP，由勾股定理求出AP，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：
取AO的中點F
所以$\frac{PO}{FO}$=$\frac{AO}{PO}$=$\sqrt{2}$，又∠POF=∠AOP
所以△POF～△AOP
所以PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
所以F，P，B三點共線時BP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP取最小值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
所以$\sqrt{2}$（BP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP）=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{5}$

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、正方形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．