Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）將x=3代入直線方程得y=-

9

2

，
∵點(diǎn)（3，f（3））也在函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象上，∴27a+9b=-

9

2

①
再由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
聯(lián)立①②，解得a=-

1

3

，b=

1

2

．
∴f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2；
（Ⅱ）由f'（x）=-x²+x，∴f′（x）≤klnx恒成立，
即-x²+x≤klnx在x∈[1，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立；
設(shè)g（x）=x²-x+klnx，
∵g（1）=0，
∴只需對(duì)任意x∈[1，+∞）有g(shù)（x）≥g（1）即可．
g′(x)=2x-1+

k

x

=

2x2-x+k

x

，x∈[1，+∞)
設(shè)h（x）=2x²-x+k，
（1）當(dāng)△=1-8k≤0，即k≥

1

8

時(shí)，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）．
（2）當(dāng)△=1-8k＞0，即k＜

1

8

時(shí)，設(shè)x1，

x

2

是方程2x²-x+k=0的兩根且x₁＜x₂
由x1+

x

2

=

1

2

，可知x₁＜

1

2

，要使對(duì)任意x∈[1，+∞）有g(shù)（x）≥g（1），
只需x₂≤1，即2×1²-1+k≥0，
∴k+1≥0，k≥-1
∴-1≤k＜

1

8

綜上分析，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-1，+∞）．