Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為實(shí)參數(shù)．求所有的數(shù)對(duì)，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有2011個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】，，

【解析】

首先，函數(shù)以為周期，且以為對(duì)稱軸，即，．其次，，

，．

因?yàn)椋?/span>關(guān)于對(duì)稱，所以，在及上

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)．

要使在區(qū)間內(nèi)恰有2011個(gè)零點(diǎn)，則上述區(qū)間端點(diǎn)必有零點(diǎn)．

（1）若，則，．

考慮區(qū)間及上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

當(dāng)時(shí)，．

令．則．

解得（舍），．故在內(nèi)有兩解． ’

當(dāng)時(shí)，．

解得（舍），（舍）．故在內(nèi)無(wú)解．

因此，在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)．

故在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)．解得．

（2）若，則，，．

當(dāng)時(shí)，．

令．則．

解得，（舍）．故在內(nèi)有一解．

當(dāng)時(shí)，．

令．則，在內(nèi)無(wú)解．

故在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．

于是，在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)．

（3）若，則，，．

同（2）討論，知在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．

故在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)．

綜上，滿足條件的，，．