如圖,四棱錐P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,側(cè)面PAB是等邊三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)證明:BC⊥側(cè)面PAB;
(Ⅱ)證明:側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB;
(Ⅲ)求側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的大。

【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可證得BC⊥側(cè)面PAB;
(Ⅱ)欲證側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在側(cè)面PAD內(nèi)一直線(xiàn)與側(cè)面PAB垂直,而根據(jù)題意可得AD⊥側(cè)面PAB;
(Ⅲ)在側(cè)面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)P做PE⊥AB.垂足為E,連接EC,根據(jù)線(xiàn)面所成角的定義可知∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角,在Rt△PEC中,求出此角即可.
解答:(Ⅰ)證:∵側(cè)面PAB垂直于底面ABCD,
且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線(xiàn)是AB,
在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥側(cè)面PAB.(3分)
(Ⅱ)證:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥側(cè)面PAB,∴AD⊥側(cè)面PAB.(5分)
又AD在平面PAD上,所以,側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB(6分)
(Ⅲ)解:在側(cè)面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)P做PE⊥AB.垂足為E,連接EC,
∵側(cè)面PAB與底面ABCD的交線(xiàn)是AB,PE⊥AB.
∴PE⊥底面ABCD.于是EC為PC在底面ABCD內(nèi)的射影,(8分)
∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角,(10分)
在△PAB和△BEC中,易求得PE=,
在Rt△PEC中,∠PCE=45°(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定,以及平面與平面垂直的判定和直線(xiàn)與平面所成的角,屬于基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線(xiàn)PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿(mǎn)足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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