Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${S_n}=2n-{a_n}（{n∈{N^*}}）$
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S_n=2n-a_n，利用遞推公式，求出a₂，a₃，a₄．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1．
當(dāng)n=2時，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)n=3時，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=$\frac{7}{4}$．
當(dāng)n=4時，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄，∴a₄=$\frac{15}{8}$，
由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）．                          
（2）證明：①當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時，結(jié)論成立，即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$
那么n=k+1（k≥1且k∈N^*）時，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1．
∴2a_k+1=2+a_k=2+$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k-1}}$．
∴a_k+1=$\frac{{2}^{k-1}-1}{{2}^{k}}$，
由①②可知，對n∈N^*，a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$都成立

點(diǎn)評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．