Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）一個(gè)零點(diǎn)為-2，當(dāng)x∈[0，4]時(shí)最大值為0．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)x＞3，不等式f（x）＞（m+2）x-m-15恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，列出方程求解即可．
（2）利用恒成立，通過(guò)對(duì)稱軸與函數(shù)值以及判別式列出不等式或不等式組，求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的一個(gè)零點(diǎn)為-2，
又當(dāng)x∈[0，4]時(shí)最大值為0．即另一個(gè)零點(diǎn)在[0，4]，則f（x）＜0（x∈（0，4）），f（4）=0，
即函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為-2，4．
$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b=0}\\{16+4a+b=0}\end{array}\right.$
a=-2，b=-8         …（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x-8，x²-2x-8＞（m+2）x-m-15，
即x²-（m+4）x+7+m＞0對(duì)x＞3恒成立，則①$\left\{\begin{array}{l}\frac{m+4}{2}≤3\\ 9-3（m+4）+m+7≥0\end{array}\right.$
或②△=（m+4）²-4（m+7）≤0
解得①m≤2或 ②-6≤m≤2，綜合得m的取值范圍為（-∞，2]…（12分）
（注：亦可分離變量$m＜\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}對(duì)x＞3恒成立$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．