Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足a_n+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

2n

an

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=

an

2an+1

，得

1

an+1

=2+

1

an

，由此可判斷{

1

an

}為等差數(shù)列，可求

1

an

，進(jìn)而得到a_n
（2）求出b_n，利用錯(cuò)位相減法可求T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

2an+1

，得

1

an+1

=2+

1

an

，
又

1

a1

=1，
∴{

1

an

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，
∴

1

an

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

．
（2）b_n=

2n

an

=（2n-1）•2ⁿ，
T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ①，
2T_n=1×2²+3×2³+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．

點(diǎn)評：該題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求和等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化能力，錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法，要熟練．