Question

某校舉行漢字聽寫大賽，有甲、乙、丙、丁四支代表隊(duì)進(jìn)入到最后的決賽．決賽規(guī)則如下：對(duì)每個(gè)隊(duì)，最多進(jìn)行5輪聽寫，若連續(xù)兩輪聽寫錯(cuò)誤，則該對(duì)退出比賽．共有5輪、4輪、三輪聽寫正確的代表隊(duì)分別可獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金依次是650元、300元、150元，已知甲代表隊(duì)每輪聽寫正確的概率均為

1

2

，且每輪聽寫正確與否互不影響．
（Ⅰ）求甲隊(duì)獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）求甲隊(duì)獲得獎(jiǎng)金x（元）的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）分別求出甲隊(duì)一、二、三等獎(jiǎng)的概率，由此能求出甲隊(duì)獲獎(jiǎng)的概率．
（2）由題意知X=650，300，150，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲隊(duì)獲得獎(jiǎng)金x（元）的分布列和均值．

解答： 解：（Ⅰ）甲隊(duì)一等獎(jiǎng)的概率：P1

=C

5 5

(

1

2

)5=

1

32

，
甲隊(duì)獲二等獎(jiǎng)的概率：P₂=

C

4 5

(

1

2

)4(

1

2

)=

5

32

，
甲隊(duì)獲三等獎(jiǎng)的概率：
p₃=

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)2-（1-

1

2

）（1-

1

2

）•(

1

2

)3-

1

2

(1-

1

2

)(1-

1

2

)•(

1

2

)2-(

1

2

)2(1-

1

2

)(1-

1

2

)•

1

2

=

7

32

，
∴甲隊(duì)獲獎(jiǎng)的概率：
p=p₁+p₂+p₃=

1

32

+

5

32

+

7

32

=

13

32

．
（2）由題意知X=650，300，150，0，
由（1）知P（X=650）=p1=

1

32

，
P（X=300）=p2=

5

32

，
P（X=150）=p₃=

7

32

，
P（X=0）=1-p=

19

32

，
∴X的分布列：

X	650	300	150	0
P	1 32	5 32	7 32	19 32

EX=650×

1

32

+300×

5

32

+150×

7

32

+0×

19

32

=100（元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都有是必考題型．