設(shè)函數(shù)y=f（x）對(duì)于x＞0有意義，且滿(mǎn)足條件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
①證明：f（1）=0；         
②求f（4）的值；
③如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范圍．
①令x=1代入題中條件，得f（y）=f（1）+f（y） 得f（1）=0；
②令x=y=2代入題中條件，
得f（2×2）=f（2）+f（2），得f（4）=2f（2）
∵f（2）=1，∴f（4）=2f（2）=2
③∵f（x）+f（x-3）≤2，
∴f（x（x-3））≤f（4）
結(jié)合f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，可得
x(x-3)≤4
x＞0
x-3＞0

解之得 3＜x≤4，實(shí)數(shù)x的取值范圍為（3，4]．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），已知f（8）=3，則f(
2
)等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)=
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f(x-1)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=27x2（1-x）．
（1）若x∈[1，2]時(shí)，求y=f（x）的解析式；
（2）對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞）），試問(wèn)：在它的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得函數(shù)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與 x+y=0平行．若存在，那么這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，記 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求證：0≤Sn＜4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f（3+x）=f（3-x）且方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根，則這6個(gè)根之和為
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18
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）=2f（x+1），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=
27
4
x2（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時(shí)，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對(duì)于任意的n∈N+，當(dāng)x∈[n，n+1]時(shí)，都有|f（x）|≤
1
2n
；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點(diǎn)P，使經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+y=1平行，那么這樣點(diǎn)有多少個(gè)？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年湖南省郴州市汝城一中高三（上）周練數(shù)學(xué)試卷（4）（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=27x2（1-x）．
（1）若x∈[1，2]時(shí)，求y=f（x）的解析式；
（2）對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈[0，+∞）），試問(wèn)：在它的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得函數(shù)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與 x+y=0平行．若存在，那么這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）已知 n∈N*，且 xn∈x[n，n+1]，記 Sn=f（x1）+f（x2）+…+f（xn），求證：0≤Sn＜4．

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