Question

16．已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，點(diǎn)（a_n，2a_n+1）在l上，且a₁=1，則a₈=（　�。�

• A． -$\frac{7}{2}$
• B． -4
• C． -$\frac{9}{2}$
• D． -$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8求出函數(shù)f（x）的解析式，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而可得到y(tǒng)=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求導(dǎo)切線方程，構(gòu)造等差數(shù)列進(jìn)行求解即可．．

解答 解：∵f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8，
∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）²+8（2-x）-8．
∴f（2-x）=2f（x）-x²+4x-4+16-8x-8．
將f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x²+8x-8
得f（x）=4f（x）-2x²-8x+8-x²+8x-8．
∴f（x）=x²，f'（x）=2x
∴y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為y′=2．
∴函數(shù)y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=2（x-1），
即y=2x-1．
∵點(diǎn)（a_n，2a_n+1）在l上
∴2a_n+1=2a_n-1，
即a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$，
則數(shù)列{a_n}是公差d=-$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，首項(xiàng)為a₁=1，
則a_n=1-$\frac{1}{2}$（n-1）=-$\frac{1}{2}$（n-3），
則a₈=-$\frac{5}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線方程，利用構(gòu)造法構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．