Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

，且f（1）=3．
（1）求a的值，并確定函數(shù)f（x）的定義域；
（2）用定義研究函數(shù)f（x）在（0，+∞）范圍內(nèi)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x∈[-4，-1]時，求出函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）及f（1）=3，求得a的值以及f（x）的定義域；
（2）用單調(diào)性的定義判定出f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性；
（3）由（2）及f（x）是奇函數(shù)得出f（x）在[-4，-

2

]和[-

2

，-1]上的單調(diào)性，求出f（x）的最大、最小值即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=x+

a

x

，且f（1）=3；
∴1+a=3，得a=2；
∴f（x）=x+

2

x

，
定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）任取0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

2

x1

）-（x₂+

2

x2

）
=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

2

x1x2

）
=（x₁-x₂）

x1x2-2

x1x2

，
∵x₁-x₂＜0，且x₁x₂＞0；
∴當(dāng)0＜x1＜x2＜

2

時，f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)

2

＜x1＜x2時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在(0，

2

)上是單調(diào)減函數(shù)，在(

2

，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）由（2）及f（x）是奇函數(shù)知，
函數(shù)f（x）在[-4，-

2

]上是增函數(shù)，在[-

2

，-1]上是減函數(shù)，
故當(dāng)x∈[-4，-1]時，f(x)max=f(-

2

)=-2

2

，f(x)min={f(-4)，f(-1)}={-

9

2

，-3}=-

9

2

，
∴當(dāng)x∈[-4，-1]時，f（x）的取值范圍是[-

9

2

，-2

2

]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、單調(diào)性與奇偶性等問題，是綜合題．