Question

設(shè)m，n為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，z∈C，則方程|z+ni|+|z-mi|=n與|z+ni|-|z-mi|=-m在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形（F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)）是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設(shè)F₁（0，-n），F(xiàn)₂（0，m），由題意得F₁（0，-n）在y軸負(fù)半軸，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得|z+ni|=|PF₁|且|z-mi|=|PF₂|，
所以第一個(gè)方程表示到F₁、F₂距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；第二個(gè)方程表示到F₁、F₂距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．由此結(jié)合橢圓曲線的第一定義，可得本題的答案．
解答：設(shè)F₁（0，-n），F(xiàn)₂（0，m）
∵方程|z+ni|+|z-mi|=n＞0，
∴F₁（0，-n）在y軸負(fù)半軸，
設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)P（x，y），則|z+ni|=|PF₁|，|z-mi|=|PF₂|，
方程|z+ni|+|z-mi|=n即|PF₁|+|PF₂|=n（定值），表示以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓；
方程|z+ni|-|z-mi|=-m即|PF₁|-|PF₂|=-m（定值），
當(dāng)m＞0時(shí)，表示以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線靠近F₁的一支，當(dāng)m＜0時(shí)，表示以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線靠近F₂的一支
因此，對照各個(gè)選項(xiàng)可知只有C符合題．
故選：C
點(diǎn)評：本題給出復(fù)數(shù)方程，要我們找出適合方程的圖形，著重考查了復(fù)數(shù)的幾何意義和圓錐曲線的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題．