Question

13．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線y=x-1過橢圓的右焦點F₂且與橢圓交于P，Q兩點，若△F₁PQ的周長為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M（2，0）的直線l與橢圓C交于不同兩點E，F(xiàn)，求$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由直線y=x-1，令x-1=0，解得x，可得F₂（1，0）．由△F₁PQ的周長為4$\sqrt{2}$，可得4$\sqrt{2}$=4a，解得a，可得b²=a²-c²=1．即可得出．
（2）由題意直線l的斜率存在，y=k（x-2），設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，△＞0，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）由直線y=x-1，令x-1=0，解得x=1，∴F₂（1，0）．
∵△F₁PQ的周長為4$\sqrt{2}$，∴4$\sqrt{2}$=4a，解得a=$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）由題意直線l的斜率存在，y=k（x-2），設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△＞0，解得$0≤{k^2}＜\frac{1}{2}$，∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=（1+k²）$[\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}-\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+4]$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$+1，
∵$0≤{k^2}＜\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}=\frac{1}{{1+2{k^2}}}+1∈（\frac{3}{2}，2]$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．