Question

將一幅斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中AD=BD=

2

，∠BAC=30°，若它們的斜邊AB重合，讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是

①③

．
①當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時(shí)，C、D兩點(diǎn)間的距離為

2

；
②在三角板ABD轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，總有AB⊥CD；
③在三角板ABD轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，三棱錐D-ABC體積的最大值為

3

6

．

Answer 1

分析：①結(jié)合圖象，利用面面垂直的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半求解；
②用反證法，假設(shè)垂直，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)推到是否可能，從而得出結(jié)論；
③根據(jù)棱錐的體積公式，在底面積不變的情況下，體積的大小取決于高，當(dāng)平面ABD⊥平面ABC時(shí)，高最大，求出即可．

解答：解：①取AB中點(diǎn)O，連接DO、CO，
∵AD=BD=

2

，∴DO=1，AB=2，OC=1
∵平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，DO⊥OC，
∴DC=

2

，①正確；
②若AB⊥CD，則AB⊥平面CDO，AB⊥OC，∵O為中點(diǎn)，∴AC=BC，∠BAC=45°與∠BAC=30°矛盾，∴②錯(cuò)誤；
③當(dāng)DO⊥平面ABC時(shí)，棱錐的高最大，此時(shí)V_棱錐=

1

3

×

1

2

×AC×BC×DO=

1

6

×

3

×1×1=

3

6

．③正確．
故答案是①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)及棱錐的體積公式．V_棱錐=

1

3

Sh．