Question

已知f（x）=ax²+bx（a≠0，b∈R），且y=f（x+1）為偶函數(shù)，方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在區(qū)間[m，n]（m，n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇3m，3n]？若存在，求m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)偶函數(shù)的奇次項(xiàng)系數(shù)為0，及方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根分別求出a，b的值，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的最大值，可得m＜n≤

1

6

，即函數(shù)在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，進(jìn)而可得

f(m)=3m f(n)=3n

，代入構(gòu)造關(guān)于m，n的方程組，解方程組可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b為偶函數(shù)，
∴2a+b=0…①…（2分）
∵方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
∴b-1=0…②…（4分）
由①②得a=-

1

2

，b=1
∴f(x)=-

1

2

x2+x…（5分）
（Ⅱ）∵f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

…（7分）
又f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇3m，3n]，
∴3n≤

1

2

，即n≤

1

6

∴m＜n≤

1

6

，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，…（9分）
∴

f(m)=3m f(n)=3n

，即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

∴m，n是方程-

1

2

x2+x=3x的兩根，
由-

1

2

x2+x=3x，解得x=0或x=-4
∴m=-4，n=0…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的解析式與二次函數(shù)的性質(zhì)，其中第二問中確定m＜n≤

1

6

是解答的關(guān)鍵