Question

3．設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosφ，sinφ），（x∈R，|φ|＜$\frac{π}{2}$，ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的一個點(diǎn)）為P（$\frac{π}{6}，1$），在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個交點(diǎn)為Q（$\frac{5π}{12}，0$）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對應(yīng)邊分別是a，b，c若f（C）=-1，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，且a+b=2$\sqrt{3}$，求邊長c．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（ωx+φ），利用周期公式可求ω，將點(diǎn)P（$\frac{π}{6}，1$）代入y=sin（2x+φ），結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由題意可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=-1，結(jié)合范圍0＜C＜π，可得C=$\frac{2π}{3}$．由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，解得ab=3，利用余弦定理即可解得c的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ），----------（2分）
由題意，得$\frac{T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，可得：T=π，所以ω=2．----------------（3分）
將點(diǎn)P（$\frac{π}{6}，1$），代入y=sin（2x+φ）  得sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
所以φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
又因?yàn)閨φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{6}$，------------（5分）
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），（x∈R）--------------（6分）
（2）由f（C）=-1，即sin（2C+$\frac{π}{6}$）=-1，
  又因?yàn)?＜C＜π，可得：C=$\frac{2π}{3}$．------（8分）
由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{2}$，知abcosC=-$\frac{3}{2}$，
所以，ab=3．----------------（10分）
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC=（2$\sqrt{3}$）²-2×3-2×3×（-$\frac{1}{2}$）=9，
所以c=3或-3（舍去），故c=3．--------------------（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，兩角和的正弦函數(shù)公式，周期公式，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．