已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)l的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有=+成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程;若不存在,說明理由.
(Ⅰ);(Ⅱ)P(,±),x±y-=0.
解析試題分析:(Ⅰ) 先利用點(diǎn)到直線的距離公式求,再利用離心率求,最后利用參數(shù)的關(guān)系求;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)利用方程組消元后得根與系數(shù)關(guān)系,然后代入題中條件化簡可求.
試題解析:(Ⅰ) 設(shè)F(c,0),當(dāng)l的斜率為1時(shí),其方程為x-y-c=0,
∴O到l的距離為,
由已知,得=,∴c=1.
由e==,得a=,b==. 4分
(Ⅱ)假設(shè)C上存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有=+成立,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(x1+x2,y1+y2).
由(Ⅰ),知C的方程為+=1.
由題意知,l的斜率一定不為0,故不妨設(shè)l:x=ty+1.
由,消去x并化簡整理,得(2t2+3)y2+4ty-4=0.
由韋達(dá)定理,得y1+y2=-,
∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2=-+2=,
∴P(,-).
∵點(diǎn)P在C上,∴+=1,
化簡整理,得4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得t2=.
當(dāng)t=時(shí),P(,-),l的方程為x-y-=0;
當(dāng)t=-時(shí),P(,),l的方程為x+y-=0.
故C上存在點(diǎn)P(,±),使=+成立,此時(shí)l的方程為x±y-=0. 13分
考點(diǎn):橢圓的基本概念,點(diǎn)到直線的距離,根與系數(shù)關(guān)系,設(shè)而不求的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率為()的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),直線、分別交直線 于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.記直線的斜率為,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)C(-1,0)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),試問在軸上是否存在點(diǎn),使是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是橢圓:上一點(diǎn),分別為的左右焦點(diǎn),,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點(diǎn)作直線,交橢圓異于的兩點(diǎn),直線的斜率分別為,證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與軸相切,求圓被直線截得的線段長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn),且雙曲線的漸近線與圓相切.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn),是雙曲線的右支上的任意一點(diǎn),試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè),是軸上的兩點(diǎn),過點(diǎn)分別作軸的垂線,與曲線分別交于點(diǎn),直線與x軸交于點(diǎn),這樣就稱確定了.同樣,可由確定了.現(xiàn)已知,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn),以HF、GE所在直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).若R、R′分別在線段0F、CF上,且.
(Ⅰ)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓:+=1上;
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn),且直線GM與直線GN的斜率之積為,求證:直線MN過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定橢圓: ,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)作直線,使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷是否垂直,并說明理由.
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