給定橢圓: ,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為,且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程;
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點,過動點作直線,使得與橢圓都只有一個交點,試判斷是否垂直,并說明理由.
(Ⅰ),;(Ⅱ)垂直.
解析試題分析:(Ⅰ)利用焦點坐標求出,利用短軸上的一個端點到的距離為,求出,解出,,寫出橢圓方程,通過得到的,求出準圓的半徑,直接寫出準圓方程;(Ⅱ)分情況討論:①當中有一條直線的斜率不存在時,②當的斜率都存在時.
試題解析:(Ⅰ)由題意可知,,則,,
所以橢圓方程為. 2分
易知準圓半徑為,
則準圓方程為. 4分
(Ⅱ)①當中有一條直線的斜率不存在時,
不妨設的斜率不存在,因為與橢圓只有一個公共點,則其方程為,
當的方程為時,此時與準圓交于點,,
此時經(jīng)過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是或,
即為或,顯然直線垂直; 6分
同理可證直線的方程為時,直線也垂直. 7分
②當的斜率都存在時,設點,其中.
設經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為,
由消去,得.
由化簡整理得,. 因為,
所以有. 10分
設直線的斜率分別為,因為與橢圓只有一個公共點,
所以滿足方程,
所以,即垂直. 12分
綜合①②知,垂直. 13分
考點:1.橢圓方程;2.分類討論思想解題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當l的斜率為1時,坐標原點O到l的距離為.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在點P,使得當l繞F轉到某一位置時,有=+成立?若存在,求出所有的P的坐標與l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,設AB,CD為⊙O的兩直徑,過B作PB垂直于AB,并與CD延長線相交于點P,過P作直線與⊙O分別交于E,F(xiàn)兩點,連結AE,AF分別與CD交于G、H
(Ⅰ)設EF中點為,求證:O、、B、P四點共圓
(Ⅱ)求證:OG =OH.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上,A,C關于軸對稱,BD平行于拋物線在點C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分;
(Ⅱ)若點A坐標為,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點、在軌跡上,且關于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設直線與軌跡交于點、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓的左焦點為,右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于點,
線段垂直平分線交于點,求點的軌跡的方程;
(Ⅲ)設與軸交于點,不同的兩點在上,且滿足,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的左頂點為,是橢圓上異于點的任意一點,點與點關于點對稱.
(Ⅰ)若點的坐標為,求的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點,使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知定圓的圓心為,動圓過點,且和圓相切,動圓的圓心的軌跡記為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點為曲線上一點,試探究直線:與曲線是否存在交點? 若存在,求出交點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:右焦點的直線交于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.
(Ι)求M的方程;
(Ⅱ)C,D為M上的兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形面積的最大值
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