Question

若函數(shù)f（x）=

x2+2x，(x≥0) -x2+2x，(x＜0)

，f（t²+2t）+f（t-4）＞0，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題可以先對函數(shù)f（x）的奇偶性進行研究，從而可以將不等式化為兩個函數(shù)值的比較，再對函數(shù)f（x）的單調性進行研究，從而將函數(shù)值問題轉化為自變量大小的比較，再解不等式，得到本題的結論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x2+2x，(x≥0) -x2+2x，(x＜0)

，
∴當x＞0時，-x＜0，
f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x=-f（x）；
當x＜0時，-x＞0，
f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x=-f（x）；
當x=0時，f（x）=0，f（-x）=f（x）．
∴當x∈R時，有f（-x）=-f（x）恒成立，
即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
∵當x≥0時，f（x）=x²+2x單調遞增；
當x＜0時，f（x）=-x²+2x單調遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
∵f（t²+2t）+f（t-4）＞0，
∴f（t²+2t）＞-f（t-4），
∴f（t²+2t）＞f（-t+4），
∴t²+2t＞-t+4，
∴t²+3t-4＞0，
∴t＜-4或t＞1．
∴實數(shù)t的取值范圍是t＜-4或t＞1．
故答案為：t＜-4或t＞1．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性及其應用，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．