Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）,分和討論正負，進而得到單調(diào)性；（2）法一：當證明當時，構(gòu)造 證明即可；法二：設(shè)，證明

（1）依題意定義域為，，

令，則，

①當時，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增；

②當時，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減；

綜上，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）①當時，設(shè)，

；

②當時，設(shè)

則，當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

所以；

設(shè)，則，

所以單調(diào)遞增，所以，所以即單調(diào)遞增，

故；

因為，所以

即，所以，

即.

解法二：

（1）同解法一；

（2）設(shè)，則，

設(shè)，則，

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

所以，，所以在上單調(diào)遞增，

又因為，，即，

所以恰有一個零點；

即，即，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

所以，

設(shè)，因為，

所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

所以，即.

解法三：

（1）同解法一；

（2）同解法二得，

設(shè)，因為，所以

設(shè)則

所以當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

所以，即，

所以在上單調(diào)遞增，則，

所以，即.