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已知函數f（x）=asinx-x+b在x=
π
3
處有極值（其中a，b都是正實數）．
（I）求a的值；
（II）對于一切x∈[0，
π
2
]，不等式f(x)＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；
（III）若函數f（x）在區(qū)間(
m-1
3
π，
2m-1
3
π)上單調遞增，求實數m的取值范圍．
分析：（I）求導函數，利用函數f（x）=asinx-x+b在x=
π
3
處有極值，可求a的值；
（II）由題意b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，
π
2
]恒成立，求出右邊的最大值，即可求b的取值范圍；
（III）求導函數，利用函數f（x）在區(qū)間(
m-1
3
π，
2m-1
3
π)上單調遞增，建立不等式，即可求實數m的取值范圍．
解答：解：（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1．
∵函數f（x）=asinx-x+b在x=
π
3
處有極值，∴f′(
π
3
)=0，解得a=2．…（3分）
（II）由題意b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，
π
2
]恒成立．
記g（x）=x+cosx-sinx，∴g′(x)=1-cosx-sinx=1-
2
sin(x+
π
4
)．
∵x∈[0，
π
2
]，∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，∴1≤
2
sin(x+
π
4
)≤
2
．
∴g′（x）≤0，∴g（x）在[0，
π
2
]上是減函數
∴g（x）max=g（0）=1，
∴b＞1．…（8分）
（III）求導函數可得f′（x）=2cosx-1，
∵函數f（x）在區(qū)間(
m-1
3
π，
2m-1
3
π)上單調遞增，
∴(
m-1
3
π，
2m-1
3
π)⊆[-
π
3
+2kπ，
π
3
+2kπ]，k∈z．
即
6k≤m≤3k+1
m＞0
，
∴m∈（0，1]．…（12分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．
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已知函數f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
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1
4
)時，求f（x）的最大值；
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34
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（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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2x
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．

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