Question

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時，總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如：函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)，
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用單函數(shù)的定義當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，分別對四個命題進行判斷，可以得出正確結(jié)論．
由兩數(shù)的平方相等，則這兩數(shù)相等或互為相反數(shù)，即可判斷①；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷②；
由互為逆否命題的等價性，即可判斷③；由單調(diào)性的性質(zhì)，即可判斷④．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x₁²=x₂²，即x₁=-x₂或x₁=x₂，所以①不是單函數(shù)，①錯誤；
對于②，函數(shù)f（x）=2^x，由f（x₁）=f（x₂）即2^x₁=2^x₂，則x₁=x₂，所以②是單函數(shù)，②正確；
對于③，f（x）為單函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，逆否命題是x₁≠x₂時，有f（x₁）≠f（x₂），所以③是正確的；
對于④，若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，所以④是單函數(shù)，④正確．
故正確的是②③④．
故選A．

點評：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，利用單函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．